działy:
|
ciekawe miejsca:
aktualny temat:
fraktale - jako obrazy matematycznego świata zbiorów
(wstęp teoretyczny)
(wstęp teoretyczny)
Fraktalem nazywamy obiekt, dla którego wymiar Hausdorffa-Besicovitcha (tzw. wymiar fraktalny) jest większy od wymiaru topologicznego. Definicja ta pochodzi od Benoita Mandelbrota. Nazwa fraktal wywodzi się od łacińskiego słowa fractus, które w dosłownym tłumaczeniu oznacza "częściowy". Wybór takiego określenia wiąże się z tym, iż wyżej opisany wymiar dla zbiorów fraktalnych przyjmuje wartości niewymierne (tym bardziej więc niecałkowite).
Fraktale cechuje bardzo ciekawa własność zwana samopodobieństwem. Powiększane w dowolnym miejscu ujawniają części łudząco podobne do wyjściowego zbioru. Chodzi mniej więcej o coś w rodzaju powtarzania kształtu w nieskończoność, niejako "w głąb", w pewnej zamkniętej przestrzeni.. Dla przykładu przedstawimy krzywą Kocha.
Proces tworzenia krzywej Kocha polega na podzieleniu odcinka na trzy równe części, gdzie część środkową zastępuje się ząbkiem (trójkątem równobocznym bez podstawy). Powstaje w tym momencie odcinek złożony z czterech równych odcinków. Postępując tak w nieskończoność, każdemu uzyskanemu odcinkowi dodając ząbek, uzyskuje się krzywą zbudowaną z samych ząbków - trójkątów bez podstawy - o nieskończonej długości, lecz mieszczącą się w niewielkim obszarze. Krzywa w żadnym miejscu nie przecina się ze sobą i w żadnym punkcie nie jest różniczkowalna.
Wymiar fraktalny (nazywany czasami wymiarem samopodobieństwa) ma wiele definicji. Każda z nich opiera się jednak na własności samopodobieństwa. Jest to coś w rodzaju klasycznego podobieństwa figur.
Rozpatrzmy dwie figury płaskie (osadzone w p-ni R2), podobne w skali k, o polach P1 i P2. Można zapisać, że:
P1/P2 = k2
Uczyńmy to samo dla brył (osadzonych w p-ni R3), również podobnych w skali k, o objętościach V1 i V2. Czyli
V1/V2 = k3
Określamy liczbę:
d = log k (P1/P2) = log k k2 = 2
Liczbę d możemy wyznaczyć znając pola powierzchni figur podobnych. Nazwijmy ją wymiarem podobieństwa dwóch figur płaskich, podobnych o polach powierzchni P1 i P2. Łatwo wykazać, że dla dowolnych takich figur, wymiar podobieństwa d będzie zawsze równy 2. Należy zwrócić uwagę teraz na fakt, że figury te są osadzone w p-ni 2-wymiarowej
Podobne czynności przeprowadźmy dla brył podobnych (osadzonych w p-ni R3).
d = log k (V1/V2) = log k k3 = 3
Analogicznie liczbę d możemy wyznaczyć znając objętości brył podobnych. Nazwijmy ją wymiarem podobieństwa dwóch brył podobnych o objętościach V1 i V2. Łatwo wykazać, że dla dowolnych takich brył, wymiar podobieństwa d będzie równy 3. Znów należy zwrócić uwagę na fakt, iż bryły te są osadzone w p-ni 3-wymiarowej.
Pojęcia zdefiniowane powyżej możemy w prosty sposób rozszerzyć na przestrzeń n-wymiarową. Daje nam to nowe, specyficzne określenie wymiaru, które jest zgodne z intuicja...
Wymiar samopodobieństwa definiujemy jako logarytm przy podstawie równej skali podobieństwa z liczby określającej "ile razy większa jest figura wyjściowa od figury podobnej".
Dla przykładu podajmy zbiór Cantora.
Łatwo zauważyć, że jest on podobny do swojej "połowy" w skali 3, ale długość tejże "połówki" jest 2 razy mniejsza od wyjściowego zbioru (na zbiór C składają się dwie takie części). Czyli
d = log 3 2 = 0,631....
będzie wymiarem fraktalnym zbioru Cantora.
Własności wymiaru samopodobieństwa dla fraktali obrazuje prosta zależność. Jeżeli w płaskiej figurze geometrycznej (np. kwadracie) dwukrotnie powiększymy boki - jej powierzchnia wzrośnie czterokrotnie. Przeprowadzając takie operacje na fraktalu jego powierzchnia zwiększy się mniej niż czterokrotnie.
Wymiar fraktalny niesie w sobie bardzo ważną informację. Pokazuje w jakim stopniu fraktal wypełnia przestrzeń, w której jest osadzony.
Przykłady:
- zbiór Cantora C jest osadzony w przestrzeni 1-wymiarowej i jego wymiar fraktalny d = 0,631...
- dywan Sierpińskiego jest osadzony w p-ni 2-wymiarowej i jego wymiar fraktalny d = 1,893...
- zbiór Mandelbrota
- zbiór Newtona
- zbiór Julii
Fraktale cechuje bardzo ciekawa własność zwana samopodobieństwem. Powiększane w dowolnym miejscu ujawniają części łudząco podobne do wyjściowego zbioru. Chodzi mniej więcej o coś w rodzaju powtarzania kształtu w nieskończoność, niejako "w głąb", w pewnej zamkniętej przestrzeni.. Dla przykładu przedstawimy krzywą Kocha.
Proces tworzenia krzywej Kocha polega na podzieleniu odcinka na trzy równe części, gdzie część środkową zastępuje się ząbkiem (trójkątem równobocznym bez podstawy). Powstaje w tym momencie odcinek złożony z czterech równych odcinków. Postępując tak w nieskończoność, każdemu uzyskanemu odcinkowi dodając ząbek, uzyskuje się krzywą zbudowaną z samych ząbków - trójkątów bez podstawy - o nieskończonej długości, lecz mieszczącą się w niewielkim obszarze. Krzywa w żadnym miejscu nie przecina się ze sobą i w żadnym punkcie nie jest różniczkowalna.
Wymiar fraktalny (nazywany czasami wymiarem samopodobieństwa) ma wiele definicji. Każda z nich opiera się jednak na własności samopodobieństwa. Jest to coś w rodzaju klasycznego podobieństwa figur.
Rozpatrzmy dwie figury płaskie (osadzone w p-ni R2), podobne w skali k, o polach P1 i P2. Można zapisać, że:
Uczyńmy to samo dla brył (osadzonych w p-ni R3), również podobnych w skali k, o objętościach V1 i V2. Czyli
Określamy liczbę:
Liczbę d możemy wyznaczyć znając pola powierzchni figur podobnych. Nazwijmy ją wymiarem podobieństwa dwóch figur płaskich, podobnych o polach powierzchni P1 i P2. Łatwo wykazać, że dla dowolnych takich figur, wymiar podobieństwa d będzie zawsze równy 2. Należy zwrócić uwagę teraz na fakt, że figury te są osadzone w p-ni 2-wymiarowej
Podobne czynności przeprowadźmy dla brył podobnych (osadzonych w p-ni R3).
Analogicznie liczbę d możemy wyznaczyć znając objętości brył podobnych. Nazwijmy ją wymiarem podobieństwa dwóch brył podobnych o objętościach V1 i V2. Łatwo wykazać, że dla dowolnych takich brył, wymiar podobieństwa d będzie równy 3. Znów należy zwrócić uwagę na fakt, iż bryły te są osadzone w p-ni 3-wymiarowej.
Pojęcia zdefiniowane powyżej możemy w prosty sposób rozszerzyć na przestrzeń n-wymiarową. Daje nam to nowe, specyficzne określenie wymiaru, które jest zgodne z intuicja...
Wymiar samopodobieństwa definiujemy jako logarytm przy podstawie równej skali podobieństwa z liczby określającej "ile razy większa jest figura wyjściowa od figury podobnej".
Dla przykładu podajmy zbiór Cantora.
Łatwo zauważyć, że jest on podobny do swojej "połowy" w skali 3, ale długość tejże "połówki" jest 2 razy mniejsza od wyjściowego zbioru (na zbiór C składają się dwie takie części). Czyli
będzie wymiarem fraktalnym zbioru Cantora.
Własności wymiaru samopodobieństwa dla fraktali obrazuje prosta zależność. Jeżeli w płaskiej figurze geometrycznej (np. kwadracie) dwukrotnie powiększymy boki - jej powierzchnia wzrośnie czterokrotnie. Przeprowadzając takie operacje na fraktalu jego powierzchnia zwiększy się mniej niż czterokrotnie.
Wymiar fraktalny niesie w sobie bardzo ważną informację. Pokazuje w jakim stopniu fraktal wypełnia przestrzeń, w której jest osadzony.
Przykłady:
- zbiór Cantora C jest osadzony w przestrzeni 1-wymiarowej i jego wymiar fraktalny d = 0,631...
- dywan Sierpińskiego jest osadzony w p-ni 2-wymiarowej i jego wymiar fraktalny d = 1,893...
- zbiór Mandelbrota
- zbiór Newtona
- zbiór Julii