działy:
|
ciekawe miejsca:
aktualny temat:
meteorologia - jako nauka, która dała początek matematycznej teorii chaosu
Zdumiewający może być fakt, że podstawy matematycznej teorii chaosu wyrosły na gruncie meteorologii. Wystarczy spojrzeć na nieprzewidywalność pogody. Dziś, w erze lotów kosmicznych, człowiek nie potrafi podać dokładnej temperatury, siły i kierunku wiatru, czy wilgotności powietrza na konkretną godzinę dowolnego dnia. Wszelkie prognozy w dłuższych odcinkach czasu są bezużyteczne, a te na najbliższe chwile są wyłącznie przybliżone. Warto powiedzieć również o wielkich kataklizmach, takich jak: huragany, powodzie czy trzęsienia ziemi. Zwykle ostrzeżenie o możliwości ich wystąpienia są publikowane w chwili, kiedy stały się już faktem. Wszystko to skłania dzisiejszego człowieka do pokory wobec natury, a współczesnego matematyka do zadumy nad istotą owych zjawisk.
Jak na teorię chaosu przystało, jej początek był czystym przypadkiem. W 1963 r. meteorolog Edward Lorenz z Massachusetts Institute of Technology skonstruował prosty model. Zawarł w nim trzy równania różniczkowe, przy pomocy których chciał opisać przemiany zachodzące w atmosferze pod wpływem promieniowania słonecznego nagrzewającego powierzchnię Ziemi.
X' = dX/dt = δ(Y - X)
Y' = dY/dt = rX - Y - XZ
Z' = dZ/dt = XY - bZ
Wykorzystując ówczesny komputer Lorenz uruchomił symulację. Uzyskane wyniki podawały pogodę dzień za dniem, a gromadzone dane przypominały jej realne zmiany. Pewnego razu komputer z bliżej nieokreślonych przyczyn nie dokończył serii obliczeń. Lorenz postanowił powtórzyć eksperyment, ale nie od początku... Jako dane wejściowe przyjął jedne z kolejnych wyników obliczeń. Rozumował, że komputer powtórzy obliczenia do momentu, gdzie ostatnio przerwał i będzie je kontynuował do czasu wyznaczonego przez badacza. Niemałe było zdziwienie Lorenza, gdy zauważył ogromną i zupełnie nieprzewidywalną różnicę pomiędzy drugą a pierwszą serią obliczeń (poza kilkoma początkowymi wynikami)...
Czyżby Lorenz natknął się na dziwne zjawisko matematyczne? Te same dane wejściowe w tym samym układzie równań dają różne wyniki? Istota tego osobliwego zachowania leży w zaokrągleniach obliczanych wartości. Komputer Lorenza robił to z dokładnością do sześciu znaczących cyfr, w wydrukach natomiast pokazywał tylko trzy. Nieznaczna zatem zmiana danych wejściowych może mieć, w dostatecznie długim czasie, ogromny wpływ na wynik końcowy. Dziś wiemy, że jest to ogólna cecha równań nieliniowych, a wspomniany czas nazywany jest czasem charakterystycznym. Całe to wydarzenie skłania nas do bardzo ważnego wniosku - modele oparte na dynamice nieliniowej są nieprzewidywalne
Niewielkie zmiany warunków początkowych, prowadzące w odpowiednio długim czasie do dużych zmian wyników końcowych, zostało nazwane "efektem motyla". Motyl trzepocząc skrzydłami w Europie Wschodniej, może przyczynić się do powstania huraganu w Nowym Yorku.. Nie jest jednak możliwe określenie, który z motyli i w jakim stopniu, będzie miał wpływ na gwałtowne zmiany atmosferyczne. "Efekt motyla" należy traktować jak metaforę, służącą zobrazowaniu niestabilności procesów nieliniowych.
Przytoczę teraz słowa Michała Tempczyka:
"W pewnych warunkach nieliniowość, dzięki której następuje sprzężenie własności i działania składników układu złożonego, może prowadzić do pojawienia się nowego rodzaju uporządkowania dynamiki całości. Uporządkowanie to przejawia się w ten sposób, iż trajektorie startujące z różnych punktów przestrzeni fazowej, po pewnym czasie zbliżają się do pewnego wyróżnionego obszaru i układ zaczyna działać zgodnie z ustalonym ogólnym schematem. Taki wyróżniony wzorzec działania, porządkujący dynamikę układów danego typu, nazywany jest atraktorem. Atraktory odgrywają ważną rolę w badaniach układów dynamicznych, matematycznych i empirycznych. Atraktor jest uporządkowaniem ukrytym w działaniu układów bardzo skomplikowanych, dlatego nie jest łatwo wykryć go obserwując taki układ. Uczeni opracowali specjalne techniki poszukiwania atraktorów w zbiorach danych opisujących różnego rodzaju procesy badane przez naukę."
Oto atraktor układa, składającego się z równań różniczkowych Lorenza:
Meteorologia - jako nauka, która dała początek matematycznej teorii chaosu. (pdf 171 KB)
Jak na teorię chaosu przystało, jej początek był czystym przypadkiem. W 1963 r. meteorolog Edward Lorenz z Massachusetts Institute of Technology skonstruował prosty model. Zawarł w nim trzy równania różniczkowe, przy pomocy których chciał opisać przemiany zachodzące w atmosferze pod wpływem promieniowania słonecznego nagrzewającego powierzchnię Ziemi.
X' = dX/dt = δ(Y - X)
Y' = dY/dt = rX - Y - XZ
Z' = dZ/dt = XY - bZ
Czyżby Lorenz natknął się na dziwne zjawisko matematyczne? Te same dane wejściowe w tym samym układzie równań dają różne wyniki? Istota tego osobliwego zachowania leży w zaokrągleniach obliczanych wartości. Komputer Lorenza robił to z dokładnością do sześciu znaczących cyfr, w wydrukach natomiast pokazywał tylko trzy. Nieznaczna zatem zmiana danych wejściowych może mieć, w dostatecznie długim czasie, ogromny wpływ na wynik końcowy. Dziś wiemy, że jest to ogólna cecha równań nieliniowych, a wspomniany czas nazywany jest czasem charakterystycznym. Całe to wydarzenie skłania nas do bardzo ważnego wniosku - modele oparte na dynamice nieliniowej są nieprzewidywalne
Niewielkie zmiany warunków początkowych, prowadzące w odpowiednio długim czasie do dużych zmian wyników końcowych, zostało nazwane "efektem motyla". Motyl trzepocząc skrzydłami w Europie Wschodniej, może przyczynić się do powstania huraganu w Nowym Yorku.. Nie jest jednak możliwe określenie, który z motyli i w jakim stopniu, będzie miał wpływ na gwałtowne zmiany atmosferyczne. "Efekt motyla" należy traktować jak metaforę, służącą zobrazowaniu niestabilności procesów nieliniowych.
Przytoczę teraz słowa Michała Tempczyka:
"W pewnych warunkach nieliniowość, dzięki której następuje sprzężenie własności i działania składników układu złożonego, może prowadzić do pojawienia się nowego rodzaju uporządkowania dynamiki całości. Uporządkowanie to przejawia się w ten sposób, iż trajektorie startujące z różnych punktów przestrzeni fazowej, po pewnym czasie zbliżają się do pewnego wyróżnionego obszaru i układ zaczyna działać zgodnie z ustalonym ogólnym schematem. Taki wyróżniony wzorzec działania, porządkujący dynamikę układów danego typu, nazywany jest atraktorem. Atraktory odgrywają ważną rolę w badaniach układów dynamicznych, matematycznych i empirycznych. Atraktor jest uporządkowaniem ukrytym w działaniu układów bardzo skomplikowanych, dlatego nie jest łatwo wykryć go obserwując taki układ. Uczeni opracowali specjalne techniki poszukiwania atraktorów w zbiorach danych opisujących różnego rodzaju procesy badane przez naukę."
Oto atraktor układa, składającego się z równań różniczkowych Lorenza:
Meteorologia - jako nauka, która dała początek matematycznej teorii chaosu. (pdf 171 KB)